Почему это 5000 галонов?
Первое хранилище нах. на растоянии 500/3 м. Заправляем полный бак. 1/3 бака тратится на то чтоб до него доехать, 1/3 бака сливаем в хранилище и на оставшейся 1/3 бака едем обратно.
Нам нужно заполнить первое хранилище 5 баками = 5*500 = 2500 галлонов.
Всего для этого нужно 15 баков горючки = 15*500 = 7500 галлонов.
После чего вы находитесь в начале пустыни с пустым баком.
Заливаете ещё один бак чтоб далее доехать до первого хранилища.
Так что всего получается нужно 16 баков горючего т.е. 16*500 = 8000 галлонов.

А разве не 14 баков необходимо, чтобы заполнить первое хранилище на 2500 галлонов?

от каждой поездки мы заправляем хранилище на 500/3 галлонов
получается, на 13 поездок у нас первое хранилище заполнено на 2000 галлонов + 500/3 галлонов, и мы находимся вначале пустыни с пустым баком.
Заправляемся 14 раз и приезжаем в первое хранилище, где в совокупности с 2/3 бака у нас получается 2500 галлонов

Далее все перевозится во второе хранилище, где в совокупности опять же с этими 2/3 бака получаем 1000 галлонов.
В третьем 500 галлонов и доезжаем до конца пустыни.

У меня получилось 14*500 = 7000 галлонов. Поправьте, если не прав.

Интересная задачка. Свести дело к школьному вычислению производной не удается, т.к. "число ходок" целое.
Соображения такие:

- оптимальной будет такая расстановка что после пересечения пустыни все временные хранилища (точки) будут пусты (иначе мы напрасно их заполняли)

- чем дальше мы прошли - тем меньше новые шаги (ведь таскать сюда топливо дороже)

Прикинем финальный маршрут (после дозаправки точка остается пустой и у нас опять полный бак)

- проехали 200, дозаправились из первой
- проехали еще 150, дозаправились из второй,
- проехали еще 100, дозаправились из третьей,
- проехали еще 50, дозаправились из 4-й
- проезжаем оставшиеся 500

Поэтому точек 4 (на расстояниях от начала 200, 350. 450, 500)
Перед последним выездом топлива в них должно быть (200, 150, 100, 50) 

Ну а как натаскать и сколько всего литров надо - это, как говорится, "детали реализации" 

Это "слишком конкретно". А будет емкость бака напр всего 100 - как тогда будете складывать в уме/на бумажке? Мне кажется надо идти "с конца", от того расклада что хотим получить

(200, 150, 100, 50) - расклад перед последним выездом, после возвращения в начало. Но мы могли вернуться в начало только из предыдущей (1-й) точки, значит предыдущий расклад (400, 150, 100. 50), и.т.д. до тех пор пока во всех точках не останется по нулям. Расход топлива на каждом шаге добавляем к сумме.

Если точки расставлены - все ясно, но вот сколько и как их ставить - этого я "в общем виде" сформулировать не могу   Пришлось бы подобрать N (число элементов прогрессии) прогнав расчет топлива для каждого

Та чего это не могу? Тут же все просто

d1 = расстояние до первой точки
2 * d1 = топливо затраченное на доставку
500 - 2 * d1 = количество доставленного топлива

Конструируем ф-цию (чем дальше доставили - тем лучше, чем больше доставили - тем лучше, значит)
f = d1 * (500 - 2 * d1)

Это автокорреляционная ф-ция, достигает максимума когда сомножители равны, значит в общем виде оптимальное расстояние до первой точки = 500/3 = 166.6

Расчет для 2-й точки аналогичен, но расходы на доставку растут (ведь сначала надо доставить это топливо до первой точки)
f = d2 * (500 - 2 * d2 - 500 / 3)
тогда d2 = 500 * 2 / 9 = 111.1

и.т.д. ставим точки пока сумма не превысит последнее расстояние

ответ неправильный, можно меньше. Если нужна подсказка, скажите. Подскажу метод которым искать ответ. Это у нас задача по алгоритмистике в универе была.

нет, можно еще меньше.