А с одной и той же скоростью нельзя пройти все точки? Просто может я неверно понял задачу, но я бы взял расстояние пройденное от начала пути у последней точки и поделили бы на время, за которое требуется пройти весь путь.
Я, если честно, не понял зачем нужны скорости в крайних точках. Можете немного яснее поставить задачу?

Просмотрел Ваши выклвдки, но, правду сказать, не особо вник (чижеловато). Давайте расскажу как я сделал, а Вы попинайте. Введем обозначения

v0, v1 - скорости в начальной и конечной точках
S - длина всего пути
T - время прохождения всего пути

Нужно вывести такое уравнение(я) что подставляя в него s(i) - длина пути i-й точки, получить v(i) и t(I) - время и скорость i-й точки. Ну ясно что свести дело к равноускоренному движению не удастся (к равномерному тем более). Поэтому моей фантазии хватило лишь на утверждение "Пусть скорость меняется квадратично" 

v(t) = a * t * t + b * t + v0;

Мы знаем что v(T) = v1, отсюда ур-е 1
Путь - интеграл от скорости,

s(t) = a / 3 * t * t * t + b / 2 * t * t + v0 * t
 
Мы знаем что s(T) = S, отсюда ур-е 2
В итоге имеем сопливую СЛАУ 2x2. решая ее находим a и b

Теперь сам расчет.

1) Решаем кубическое ур-е s(i) - путь i-й точки. находим t
s(i) = a / 3 * t * t * t + b / 2 * t * t + v0 * t

2) Подставляя найденное t в ур-е скорости находим скорость i-й точки
v(i) = a * t * t + b * t + v0;

Верно ли я мыслюсь? Меня смущает что как только сказано "квадратичный" (закон скорости) - все остальное уже определено, выбора нет. Почему так получается?

Спасибо

Задача для теслы, только электродвигатель/реактивный двигатель способен выдавать примерно одинаковое максимальное ускорение на любой посильной ему скорости.
потом может получиться вначале скорость 60-120-240-300(что не совсем реально для автомобиля). вместо того чтоб всю дорогу 120 ехать, а в крайних точках резко разогнаться.

Еще у вас скорость в конечной точке разве учитывается? квадратичное уравнение задается жестко начальной скоростью и временем(конечную скорость уже не изменить).
Потом если скорость отрицательная в начальной конечной точке(или квадратное уравнение такое получиться) то объект проедет эти точки а потом вернется к заданному времени.

Кубическое уравнение опишет вашу задачу, по скорости в начальной и конечной точке, и времени. Ну и нужно учесть что график может вылететь за конечную или начальную точку.

Мне кажется интуитивнее домножить обе части на T и мы получим ур-е пути. А так неясно почему средняя должна быть такой. Ну это не принципиально

В общем случае нет, не даст расстояние (в точках). Если a = 0 то получится равноускоренное движение. А если и b = 0 то выйдет движение с постоянной скоростью.

Ну вообще-то парабола задается 3 точками, а здесь только 2 (начальная и конечная). Не пойму каким образом я (неявно) задал третью? 

Хорошо, а как удобно (гибко) варьировать "форму" графика скоростей? Напр при v0 = v1 = 0.0 он выглядит как школьная парабола
у = -x^2
Как сместить максимум влево/вправо по желанию юзверя (пусть примитивно но с минимумом опций и не влезая в обильную математику)?

Спасибо

интеграл от скорости даст путь.

Это принципиально! Это условие фактически фиксирует третью точку. Поскольку с одной стороны суммарный путь по условию это S, а с другой стороны - это интеграл от скорости от начального момента времени до конечного!

Как только мы решили аппроксимировать скорость квадратичной функцией и юзер задал начальную и конечную скорости, полное время в пути и длину пути - то он уже больше ничего варьировать не сможет, поскольку (в сотый раз повторяю) решение для квадратичной функции в этом случае определяется однозначно!

Хотите дать юзеру свободу вырьировать параметры: апроксимируйте скорость полиномом выше второй степени. Например, для кубической функции и юзера появится один свободный параметр.


Я бы сказал, выбор зависимости скорости от времени не единственно возможный - можно туеву хучу вариантов рассматривать, но сам алгоритм примерно один и тот же - фактически это просто решение краевой задачи.

Юзер вообще не будет знать о ваших полиномах и т.д.. Вы ему дадите N-ное колличество "бубочек", которые он может крутить-вертеть. Число "бубочек" определяет число свободных параметров. Число свободных параметров N задаётся условием: N = n-2, где n - степень полинома (n >= 2).


Если на пути нет точек останова (т.е. точек, где скорость меняет направление) то корень на интервале t [0, T] будет только один.