Тут подсказали, что нужно сделать свою реализацию streambuf и в ней обрабатывать ввод в stdout

C++ (Qt)
your_stream_buffer new_buffer;
streambuf* old_buffer = cout.rdbuf(&new_buffer);
 
cout << "Hello"; // This will be redirected to `new_buffer`.
 
// Restore original buffer:
cout.rdbuf(old_buffer);

можно через pipe

Bash
proc1 | proc2
 

Всем спасибо , простого и понятного способа вроде QProcess::readAllStandardOutput(), на какой я надеялась, похоже нету, заморачиваться со сложными неохота, поэтому буду переделывать классы.
Даже если бы нашёл, вряд ли бы он помог мне. Я работаю с Qt 10 лет уже (начинала ещё в 3-й версии), поэтому простых вопросов здесь не задаю. 
Через printf и cout, классы пришли из не Qt-шного проекта, и должна сохраниться возможность использовать их без графики. Поэтому добавлю emit logMessage(QString);
Возможности 5-й версии мне недоступны, т.к. пишу в 4.8.6, таково требование заказчика.