Нужно написать функцию, которая будет удалять i-ый элемент из структуры.Я очень плохо понимаю как это сделать.Кое-что наваял, но  получилась какая-то ересь.

tstrtuct.h

#ifndef TSTRUCT_H
#define TSTRUCT_H

#include "mainwindow.h"

struct Array{
    QString aFIO;
    QString aAge;
    QString aPost;
    QString aDegree;
    QString aGender;
};
struct Zveno{
    Array Inf;
    Zveno *Next;
    Zveno *Prev;
};
class TStruct{
private:
    Zveno *Head;
    int Count;
    QString Author;
public:
    TStruct();
    TStruct(Array);
    ~TStruct();
    void AddElement(Array);
    int GetCount();
    QVector <QString> ToVector();
    void DeleteElement(Array,int);
};

#endif // TSTRUCT_H

tstruct.cpp

#include "tstruct.h"

TStruct::TStruct()
{
}
TStruct::TStruct(Array Element)
{
    Head=NULL;
    Count=0;
    Author="";
    this->AddElement(Element);
}
void TStruct::AddElement(Array Element){
    Zveno *p=new Zveno; //Выделяем память для нового элемента
    p->Inf=Element; //Записываем в поле Inf принимаемый в функцию элемент Element
    p->Next=Head; //Указываем, что следующий элемент это предыдущий
    Head=p; //Сдвигаем голову на позицию вперед
    p->Prev=Head;
    Count++;
}
int TStruct::GetCount(){
    return Count;
}
QVector <QString> TStruct::ToVector(){
    Zveno *p=new Zveno;
    QVector <QString> vector;
    p=Head;
    for(int i=0;i<Count;i++){
        vector.append(p->Inf.aFIO+" "+p->Inf.aAge+" "+p->Inf.aPost+" "+p->Inf.aGender+" "+p->Inf.aDegree+"\n");
        p=p->Next;
    }
    return vector;
}
void TStruct::DeleteElement(Array Element, int j){
    Zveno *p=new Zveno;
    p=Head;
    Zveno *temp=p->Prev;
    Zveno *x=p->Prev;
    Zveno *y=p->Prev->Next;
    for(int i=j; i<Count-1;i++){
        x=x->Next;
        y=y->Next;
        temp=temp->Next;
    }
    p->Prev->Next=x;
    p->Prev->Next->Next=y;
    p->Prev->Next=p->Prev->Next->Next;
    Element=temp->Inf;
    qDebug()<<temp->Inf.aFIO;
    delete temp;
    Count--;
}

По непонятным мне причинам происходит вот что:

j=1

Содержание структуры:
4
3
2
1

при выполнении функции DeleteElement 4 раза

qDebug:
"3"
""
""
index out of bounds

Добавление происходит вот так вот:
http://ci-plus-plus-snachala.ru/image/1.gif
Поэтому голова указывает на конец,но на самом деле это начало.

Назвав элемент Array Вы внесли большую путаницу. Классы также построены плохо. Поэтому разгребать что Вы нагородили трудно и неблагодарно. Если хотите - начнем с нуля, так проще