Вопрос то в чем? Отображай.
Ловишь сигнал клика, создаешь виджет с календарем, смотришь геометрию едит-а и
перемещаешь календарь куда надо.

Ну не обязательно. Можно календарь думаю как модальный диалог сделать как вариант.

Не только после выбора даты, но и после потери фокуса едит'ом
Модальное окно лучше не использовать т.к. пока его не закроешь с окном ничего сделать нельзя. Как вариант можно его закрыть, когда курсор выйдет за пределы календаря и едит'а

Переопределил focusInEvent, но вот беда, когда закрываю окно с календарем оно опять вызывается. Походу после закрытия календаря фокус переносится опять на этот QLineEdit.

Чот не кошерно

Сделаю как тут, кнопочкой лучше:
http://docs.huihoo.com/qt/solutions/4/qtcalendarwidget/qtcalendarwidget-example-datepicker.html

>>Сделаю как тут, кнопочкой лучше:
Дак может тогда уж проще штатный виджет использовать (QDateEdit)?

C++ (Qt)
dateEdit = new QDateEdit(Form);
dateEdit->setCalendarPopup(true);