1) Какого типа пересечения, например в 2-х или в 3-х измерениях
2) Соответсвенно по какому принципу разбивка и сборка новых(очень желательна картинка)
3) Какова цель(не вдаваясь в предметную область)
4) Какие ограничения

1) Все-таки исходные полигоны или треугольники.
2) Результатирующие - только треугольники?

Админы! Похоже в данном разделе вложения файлов не делаются .  Это как-то фигово!
Как вариант, можно разместить какртинку на сайте, например здесь http://www.radikal.ru/ и дать ссылку.

1) Имем тругольник (твое допущение)
2) Имеем 2 точки на нем соединенные отрезком
Случаи:
0) Вырожденные случаи(обе точки за пределами или на одном ребре) - разбиения нет
Исключая вырожденные:
1) точки совпадают - разбиение простое, от точки к вершинам
2) одна из точек совпадает с вершиной - разбиение простое, от внутренней точки к вершинам
3) обе точки на разных ребрах - имеем треугольник и четырехугольник. Задача разбить четырехугольник.
4) одна на ребре одна внутри - можно свести к случаю 3 (продолжением отрезка до ребра)
5) обе внутри - можно свести к случаю 3 (продолжением отрезка до ребер)
Остается задача разбить четырехугольник, что можно сделать несколькими способами.

Если есть особые критерии(?) к получаемым при разбивке треугольникам, то разбивка в каждом из 5 случаев может усложниться.

Ты наверное имеешь ввиду что треугольник может иметь несколько пересечений? Это я проглядел, здесь посложнее.
Но тебе все равно нужно сводить к разбивке отдельных треугольников(по отрезкам пересечений на нем), иначе никак.
Задача сводиться к нахождению всех отрезков для треугольника(насколько я понял ты ее решил).
И собственно разбиению по ним.
Правильно я понял?

Извини, но в данной предметной области я слябо шарю. Так что, не могу однозначно интерпретировать твой ответ. Начни сначала, постарайся абстрагироваться и описать задачу доступно(вне предметной области), это и тебе поможет в решении задачи.