Задачки

[Igors]

Как решается напишу позже, когда погуляю с собачкой)

Ну, помощь консультантов не запрещена 

[SimpleSunny]

Геометрия

Есть точка P (x. y, z) лежащая на некоторой поверхности. Нормаль (перпендикуляр) к поверхности задана вектором N (x, y, z) длина этого вектора = 1. Есть лампочка в точке L (x. y, z)

Используя правило "угол падения = углу отражения" найти вектор R (x. y, z) - направление в котором точка P отразит свет

Нам даны координаты точек L, P и координаты вектора N?

[Igors]

Нам даны координаты точек L, P и координаты вектора N?

Да, и вектор N нормирован (его длина = 1)

[SimpleSunny]

Странно, что неправильно, у меня получилась такая же формула

R = L + 2*k*N
L = (x_p-x_l; y_p - y_l; z_p - z_l)
k = N*(-L) (скалярное произведение)

[m_ax]

Я вернулся)

Ну, помощь консультантов не запрещена

Океюшки)

И так:
1) все вектора обозначаются жирным шрифтом; абсолютная величина вектора-обычным шрифтом.
2) для удобства введём вектор A=L-P и соответствующий ему единичный вектор e_A=(L-P)/|L-P|
3) векторное произведение будем обозначать как: [a,b] (a и b какие-либо два вектора)
4) скалярное произведение будем обозначать как: (a,b)
5) напомню правило "бац минус цаб" для двойного векторного произведения:
[a[b,c]]=b*(a,c)-c*(a,b)
6) n_r - единичный вектор указывающий направление отражённого света

Далее буду расписывать всё оч подробно, поэтому получится оч длинно)

1) |[n,A]| = A*sin(phi), где phi - угол между вектором A и вектором n
2) [n,A] - вектор коллинеарен вектору [n_r,A], в силу закона отражения) (на самом деле, угол отражения, вовсе не равен углу падения - эт приближение геометрической оптики, ну да фиг с этим)

3) |[n_r,A]| = A*sin(2*phi) = 2*A*sin(phi)*cos(phi)  (в силу закона отражения)

4) следовательно должно выполняться:
[n,A]*2*cos(phi) = [n_r, A];
5) заметим, что cos(phi) = (n,e_A)
6) умножим векторно левую и правую части ур. 4. на вектор n:
[n[n,A]]*2*cos(phi) = [n[n_r,A]]
7) воспользуемся правилом "бац минус цаб":
{n*(n,A)-A*(n,n)}*2*cos(phi) = n_r*(n,A)-A*(n,n_r)
очевидно что: (n,n) = 1;  (n, n_r) = cos(phi)
9) следовательно получаем:
n*(n,A)*2*cos(phi) - 2*A*cos(phi) = n_r*(n,A)-A*cos(phi)
10) поскольку (n,A) = A*cos(phi); cos(phi) = (n,A)/A
11) подставим выражение для cos (10) в (9):
n_r = 2*n*(n,A)/A - A/A
12) вспоминая, что такое e_A получаем окончательный ответ:
n_r = 2*n*(n,e_A) - e_A

Вы ещё не согласны? /*тогда мы идём к Вам))*/

 

[Igors]

Странно, что неправильно, у меня получилась такая же формула

R = L + 2*k*N
L = (x_p-x_l; y_p - y_l; z_p - z_l)
k = N*(-L) (скалярное произведение)

У Вас правильно получилось. Смотрим чертеж (attachment). Оба вектора: P - L (свет, красный) и R (отраженный, синий) можно представить как сумму 2 векторов: вертикальный (проекция на нормаль N) и горизонтальный. Видно что горизонтальная компонента одна и та же, а вертикальные противоположны. Поэтому

R = (P - L) - vert * 2;

Направление вертикальной компоненты известно (это N) а длина ее = скалярному произведению, значит vert = N * dotProduct(P - L, N), итого имеем

R = (P - L) - N * dotProduct(P - L, N) * 2

Обычно все вектора исходят из точки P (которая шейдится). Если нарисовать вектор из P в L. то получилась бы наоборот: вертикальные компоненты равны, а горизонтальные противоположны. Тогда бы вышло

R = N * dotProduct(L - P, N) * 2 - (L - P)

Это то же самое что привел m_ax, но он поначалу ошибся в направлении вектора. После (плодотворной) прогулки с собачкой ошибка была исправлена, хотя 12 пунктов совсем не нужны там где можно обойтись теоремой Пифагора 

[m_ax]

После (плодотворной) прогулки с собачкой ошибка была исправлена, хотя 12 пунктов совсем не нужны там где можно обойтись теоремой Пифагора 

)) Однако, как показывает опыт, далеко не все задачки можно решить с помощью "теоремы Пифагора")

Кстати, вот вспомнилась одна задачка, которую можно решить двумя способами: по "теореме Пифагора" и чуть более сложным образом)

Три букашки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. В некоторый момент времени они одновременно начинают двигаться с постоянной по модулю скоростью v, следующим образом:
букашка №1 бежит за букашкой №2;
букашка №2 безит за букашкой №3;
букашка №3 бежит за букашкой №1.

Вопрос: Через какое время t они встретятся?

   

[Ubuntu_linux]

 
Тест Бенета вновь выходит на арену в обновленном виде, теперь чтобы пройти тест нужно лишь скачать архив с программой (5,17 МБ) для виндовс и после распаковки можно сразу же запускать тест и проходить его.

Наслаждайтесь!

Скачать!




Программа бесплатная и с открытым кодом, то есть каждый может пересмотреть как написана программа!

[m_ax]

Как то у нас проходила неделя французского кино и меня вытащили на один из фильмов, названия не помню, но запомнилась одна игра)
Суть игры следующая:
Играют двое.
Имеется 4 ряда (пусть будет спичек, хотя не важно чего, но в фильме это были спички), причём в первом ряду одна спичка, во втором 3 спички, в третьем 5 спичек и в четвёртом 7 спичек (типа пирамидка).
Каждый игрок за один ход может взять любое число спичек, но только с одного ряда. Затем ходит второй и тож может взять любое число спичек но только с одного какого-либо ряда. Проигрывает тот, кто забирает последнюю спичку.

Хочу написать маленькую програмку, и пока в основной проге проходят расчёты (считает долго) позабавить тем самым пользователя))

Подскажите как енто лучше сделать))       

[spectre71]

№5. Дана прямая, каждая точка которой имеет один из двух возможных цветов (например, белый/черный). Раскраска - абсолютно случайная. Существует ли всегда на такой прямой отрезок, концы и середину которого составляют точки одного цвета?

Более обобщенное решение.
Данное решение действительно для любого отрезка, точки которого раскрашены в два цвета любым способом.
Дан отрезок, каждая точка которого имеет один из двух возможных цветов (например, белый/черный). Раскраска - абсолютно любая. Всегда существует на таком отрезке подотрезок, концы и середину которого составляют точки одного цвета?

1) Лемма. Если имеем две пары точек одного цвета и расстояния между точками в обоих парах равны, то точка находящаяся посередине между двумя крайними принадлежащими данным парам имеет тот же цвет.
то на отрезке образуемом двумя крайними принадлежащими данным парам точками, существует  подотрезок, концы и середину которого составляют точки одного цвета.

Док-во.
Кодировка: "0" черная, "1" белая, "." неизвестная, "-" отрезок длины L1, "*" отрезок длины L2
На примере двух черных пар имеем по условию:
0-.-0*.*0-.-0
Если поставим 0 вместо хотя бы одной ".", то получим искомый отрезок.
В обратном случае если ставим везде "1"
0-1-0*1*0-1-0
тоже получим искомый отрезок.
Лемма доказана.

2) Основное док-во. Возьмем любой отрезок принадлежащий исходному и разобьем его на 14 равных частей. Закодируем последовательность полученных разбиением точек "0" черная, "1" белая. Разделим нашу последовательность на 3-ки. Получим всего 5 троек.
Всего существует 8 различных возможных троек.

  a) Если встретилась одна из  "000" "111", случай тривиален.

  b) Для остальных. Достаточно 5 троек чтобы был верен один из следующих пунктов:
- Если встретилась "001" или "100" более 1 раза, поскольку имеем две пары белых точек удовлетворяющих лемме, то теорема доказана.
- Если встретилась "110" или "011" более 1 раза, поскольку имеем две пары черных точек удовлетворяющих лемме, то теорема доказана.
- Если встретилась "010" более 1 раза, поскольку имеем две пары белых точек удовлетворяющих лемме, то теорема доказана.
- Если встретилась "101" более 1 раза, поскольку имеем две пары черных точек удовлетворяющих лемме, то теорема доказана.

[spectre71]

Модефицированная задача №5
Дан отрезок, каждая точка которого имеет один из двух возможных цветов (например, белый/черный). Раскраска - абсолютно любая.
Верно ли, что на данном отрезке всегда существует последовательность из N различных точек одного цвета, при этом расстояния между последовательными точками равны?

[Igors]

Ну блин и задачки пошли заумные  На мой взгляд доказательство чего-то "на бесконечной прямой" имеет мало смысла для инженера-практика. Вот широко известная - но весьма полезная задачка:

В классе 30 учеников (одногодки). Какова вероятность того что хотя бы двое из них родились в один день?

[SimpleSunny]

Эта уж слишком известная (=

[Igors]

Эта уж слишком известная (=

Зато полезная  Пример: нужно "самплить" текстуру чтобы получить гладкий результат. Всего есть (предположим) 19x19 точек. Осреднить все 19 * 19 = 361 накладно. Сколько точек надо выбрать (случайно) чтобы получить приемлемый результат? Вряд ли кто-то ответит - дело свалится в предметную область - и в конце концов заглохнет. А ведь задача та же самая (и даже числа те же). Ну и вообще:

- у меня проездной..
- предъявляем!

Обоснованный ответ и расчеты please 

[ecspertiza]

В классе 30 учеников (одногодки). Какова вероятность того что хотя бы двое из них родились в один день?

У меня получилось 0,0024 не знаю правильно ли посчитал, год считал не високосным.