Расчет скоростей [решено]

[Igors]

Имеем 2 условия:

v2 = v0 + a*T + b*T*T + c*T*T*T,
S/T = v0 + a*T/2 + b*T*T/3 + c*T*T*T/4.

Находим коэффициенты a и b, которые в данном случае теперь зависят (причём линейно) от параметра c.

Далее подставляем a и b в уравнение для скорости и ищем условие для параметра c, где скорость на интервале t [0, T] больше или равна нулю:

v0 + a*t + b*t*t + c*t*t*t >= 0

Это, так называемое неравенство с параметром, то, чего так боятся школьники на ЕГЭ.
Решая его, получаете возможный интервал изменения параметра c. Всё. юзеру даёте бубочку с мин и мак. значениями для c.
Пускай крутит туда-сюда)   

Если мы сначала "взяли" какое-то значение "с" (т.е. ввод юзера), и на основании его вычислили a и b, потом из них вычисляем допустимый интервал "с" - то боюсь что этот интервал будет зависеть от того "с" что "взяли" А значит каких-то конкретных чисел для "пределов" у меня нет. Также условие "скорость положительна" вызывает у меня сомнения, не лучше ли поставить условие "скорость монотонно" (убывает/возрастает)

Но приятно радует что стиль изложения стал намного лучше. Спокойно, просто, без выкрутасов. Спасибо за понимание

[m_ax]

интервал будет зависеть от того "с" что "взяли"   А значит каких-то конкретных чисел для "пределов" у меня нет.

Ничего подобнтго.. Интервал для c, где скорость больше нуля определяется только начальными условиями т.е. начальная и конечная скорости, полный путь и время. И его можно аналитически получить. Юзеру давайте по умолчанию положение бубочки на c=0.

"скорость положительна" вызывает у меня сомнения, не лучше ли поставить условие "скорость монотонно" (убывает/возрастает)

Нет, это монотонное убывание/возростание возможно только лишь в том случае, если окажется, что средняя скорость S/T будет лежать между начальной и конечной скоростями.
Более того, даже для квадратичной зависимости скорости никто не гарантирует, что на интервале [0, T] не будет точек поворота.

[Igors]

Более того, даже для квадратичной зависимости скорости никто не гарантирует, что на интервале [0, T] не будет точек поворота.

Да, верно, с монотонностью не выходит

Интервал для c, где скорость больше нуля определяется только начальными условиями т.е. начальная и конечная скорости, полный путь и время

Может и можно но не так как Вы предложили. Сначала Вы протаскиваете значение "с" "от фонаря"

Имеем 2 условия:

v2 = v0 + a*T + b*T*T + c*T*T*T,
S/T = v0 + a*T/2 + b*T*T/3 + c*T*T*T/4.

Находим коэффициенты a и b, которые в данном случае теперь зависят (причём линейно) от параметра c.

А потом используете полученные a и b  для расчета пределов. Типа "куда повернул - туда и вышло".

Ну ладно, то может я слишком много хочу. И запрос этот всего лишь "вероятный". Ясно что сходу его не решить, да и ур-е 4-й степени надо либку подобрать.

Всем спасибо за обсуждение

[m_ax]

Может и можно но не так как Вы предложили.

Именно так. Вы просто, похоже, не понли..

Сначала Вы протаскиваете значение "с" "от фонаря"

Опять нет. Мы выражаем параметры a и  b через c. При этом a и b - линейно зависят от c.
Подставляем a и b, как функции c  в неравенство. Получаем линейное неравенство относительно c, где t - параметр. Никаких a  и  b там уже нет!
Решаем его, определяя границы для c, таким образом, чтоб при любых значениях t [0, T] это неравенств выполнялось. 
Этот интервал [c_min, c_max] будет зависеть только лишь от T, S, v0, v2. Всё!

[Igors]

Опять нет. Мы выражаем параметры a и  b через c. При этом a и b - линейно зависят от c.

Ааа! Дошло! Спасибо.

Но условие V >= 0 все-таки хиленькое. Оно и на просто квадратичной может не выполняться - ну обрезаю до нуля, лучшего не видно. И да, по условию скорость только положительная, хотя сам объект может двигаться в противоположном напр-и - это учитывается траекторией.

Спасибо

[deMax]

Этот интервал [c_min, c_max] будет зависеть только лишь от T, S, v0, v2. Всё!

Если ускорение и скорость неограниченны то с - может любое значение приимать вплоть до бесконечности. (чисто физически )

[m_ax]

Этот интервал [c_min, c_max] будет зависеть только лишь от T, S, v0, v2. Всё!

Если ускорение и скорость неограниченны то с - может любое значение приимать вплоть до бесконечности. (чисто физически )

Можно, конешно, любое c вставить, только вот никто не гарантирует вам, что скорость не сменит знак на пути s. Т.е. не будет точек поворота..

[Igors]

Можно, конешно, любое c вставить, только вот никто не гарантирует вам, что скорость не сменит знак на пути s. Т.е. не будет точек поворота..

Так они и так есть, напр при v0 = v1 = 0

Немного сменим тему. Там есть еще "скорость на сегменте", т.е. 2 точки не так себе "соединяются прямой", а рисуется честная аналитическая кривая. Она вычисляется полиномом 5-й(?) степени, т.е. задаются

1) Длина пути между 2 точками
2) Начальные и конечные скорости
3) Начальные и конечные ускорения

В полином этот я, правду сказать, не вникал, работает - и ладно. Понятно он дает интеграл чтобы покрыть путь по времени.  У юзера есть ручки (контролы на графе) для установки ускорения. 

И вот тут у юзера начинают течь слюни. В одной проге (крутой) он видел что "ручки" могут быть короче/длиннее, это дает больший контроль кривизны на сегменте. Ну ясное дело - второе ускорение (2 штуки), у нас его нет. В общем, "я, Вань, такую же хочу". Что посоветуете ?

[m_ax]

Так они и так есть, напр при v0 = v1 = 0

Это точки остановки. Точки поворота это когда скорость меняет направление движения

[deMax]

И вот тут у юзера начинают течь слюни. В одной проге (крутой) он видел что "ручки" могут быть короче/длиннее, это дает больший контроль кривизны на сегменте. Ну ясное дело - второе ускорение (2 штуки), у нас его нет. В общем, "я, Вань, такую же хочу". Что посоветуете ?

уравнение 4 степени тоже решается. Можно сюда и других функций добавить, sin, log... в принципе и решать можно подбором значений(при делении уже точность теряется), ну или математический пакет для решения уравнений заюзать.

[Igors]

Это точки остановки. Точки поворота это когда скорость меняет направление движения

Ну да, при v0 = v1 = 0 получим параболу у = -kx^2 в верхней точке скорость перестает нарастать и начинает убывать

уравнение 4 степени тоже решается. Можно сюда и других функций добавить, sin, log... в принципе и решать можно подбором значений(при делении уже точность теряется), ну или математический пакет для решения уравнений заюзать.

Давайте "точнее". Ни о каких синусах и/или логарифмах речь не идет.  Есть 2 точки, дано

S - длина пути
T - время
v0, v1 - скорости (в точках)
a0, a1 - ускорения (в точках)
b0, b1 - вторые ускорения (в точках)

Все перечисленное - конкретные числа. Требуется найти ф-цию (коэффициенты) полинома

[deMax]

общая формула скорости v(t) = a*t4 + b*t3 + c*t2 + d*t + e

v1 = a*t4 + b*t3 + c*t2 + d*t + v0
a1 = 4a*t3 + 3b*t2 + 2c*t + a0
b1 = 12a*t2 + 6b + b0

из формулы:
 e = v0 ( для нулевого времени)
 d = a0
 c = b0/2

осталось a, b найти.

p.s. если не секрет, а зачем это все нужно?

[Igors]

общая формула скорости v(t) = a*t4 + b*t3 + c*t2 + d*t + e

Такой полином используется сейчас, второе ускорение он не учитывает. Вот вычисление коэффициентов

double org = S / T;
a =   6.0  * org -  3.0 * v0 -  3.0 * v1 -  0.5 * a0 + 0.5 * a1;
b = -15.0 * org + 8.0 * v0 + 7.0 * v1 + 1.5 * a0 -          a1;
c =  10.0  * org - 6.0 * v0 -  4.0 * v1 -  1.5 * a0 + 0.5 * a1;
d = 0.5 * a0;
e = v0;

А скорость считается так

v = a * (t ^4) * 5 + b * (t ^ 3) * 4 + c * (t ^ 2)  * 3 + d * t * 2 + e

Похоже каждый параметр добавляет степень. Без ускорения (стартовый пост) 2-я степень. Добавили a0 - 3-я,  еще добавили a1 - 4-я. Со вторым(и) ускорением должна получиться 6-я степень

p.s. если не секрет, а зачем это все нужно?

Что "все это"? "Вообще" - упр-е скоростью объекта для которого юзер задал траекторию. Конкретно "для 2 точек" - ну так между точками тоже надо считать, там может быть сколь угодно длинный путь

И вот у меня впечатление, что никакие "книги", вылазки в гуглу, поиски "готовых решений" и.т.п.  здесь совершенно не нужны  Просто записать ур-е нужной степени и найти коэффициенты.  Это хорошо 

[Old]

И вот у меня впечатление, что никакие "книги", вылазки в гуглу, поиски "готовых решений" и.т.п.  здесь совершенно не нужны  Просто записать ур-е нужной степени и найти коэффициенты.  Это хорошо 

Конечно не нужны. Книги, гугл... Достаточно зайти на prog.org.ru и спросить у m_ax. Все.

[deMax]

Просто записать ур-е нужной степени и найти коэффициенты.  Это хорошо  

Исходя из начального условия задачи, ничто не мешает вам добавить к вашему полиному любых других функций(например синусом можно добавить вибрацию...)
можно вообще на одном синусе задачу решить - движемся со средней скоростью(при этом скорость изменяетсмя от 0 до Vmax > v0 и v1 - границы подгоняем чтоб v0 и v1 совпали) - конечно это несколько странное решение, но начальному условию удовлетворяет(S t v0 v1).

А вообще мне ваша задача напоминает построение сплайна.