Итак, все получилось! Спасибо Страннику.
Вкратце расскажу по шагам для всех, что нужно делать, чтобы облегчить жизнь будущим людям, которые тоже на этом споткнутся.
1. После установки, необходимо проверить наличие папки src в директориях Qt. Если ее нет, то заходим в SDKMaintanceTools. Далее Miscellaneous->Qt Sources и ставим галочку напротив Qt 4.7.3 Sources. Далее next и ждем закачки сорцов. Лично у меня они установились в QtSdk/QtSources.
2. Теперь, пропишем пути к qmake и mingw32-make в переменных средах:
Идем: Мой Компьютер->Дополнительно->Переменные Среды. Находим переменную PATH. Добавляем туда 2 пути. Один к qmake:
Лично у меня он такой: QtSDK\Desktop\Qt\4.7.3\mingw\bin
И к mingw32-make: QtSDK\mingw\bin
3. Заходим в cmd и идем к заветной папке с драйвером odbc : QtSDK\QtSources\4.7.3\src\plugins\sqldrivers\odbc
Далее пишем:
qmake odbc.pro
mingw32-make
Начнется компиляция драйвера. Ждем несколько секунд.
4. Должна появится папка Debug, откуда забираем все файлы и копируем к нам в sqldrivers. У меня путь такой:
QtSDK\Desktop\Qt\4.7.3\mingw\plugins\sqldrivers
Если все сделали правильно, драйвер ODBC должен появится в списке доступных драйверов в QSqlDatabase.
Для других драйверов все делается почти аналогичным образом, только компилируются с другими параметрами, подробнее здесь:
http://doc.crossplatform.ru/qt/4.3.2/sql-driver.html