Добавил сразу после main
qApp->addLibraryPath("./sqldrivers");
Причём ничего нового подключать не пришлось и заводить собственный класс QApplication или типа того тоже.
Раньше было "Driver not loaded", теперь
unable to open database file Error opening database
Но база создаётся самим приложением при её отсутствии. А вообще она уже есть в нужной директории.