QToolButton вам в помощь это по поводу кнопки со стрелкой.
А вот чтоб выпал другой виджет - это ручками. Например диалог с набором кнопок, который визиблить/хайдить когда надо.
Я знаю как сделать кнопку со стрелкой справа (для кнопки со стрелкой справа нужно использовать свойство QToolButton::MenuButtonPopup и т.д.), а вот со стрелкой справа снизу нет.