Значит, что сделал я. Во-первых, скопировал папку imageformats из кьютешной папки в папку с моим исполняемым файлом. Во-вторых, как посоветовали, заменил открытие картинок на такое:
QPixmap pixmap(QCoreApplication::applicationDirPath() + QDir::separator() + "splash.jpg");
В итоге, на компе без кьюта (ХР) эта программа нормально запустилась. Ещё раз всем спасибо.