Почему это не работает - сложно сказать. Какие-то побочные эффекты от дублирования кода в проекте и плагине. Возможно, разные распределители памяти, возможно, разные значения внутренних переменных.
Ребята, какие распределители памяти, какие разные значения переменных?
Нужно подключать sqlite с теми же флагами, с которыми это делает Qt, а они перечислены в qtbase/src/3rdparty/sqlite.pri
Кстати, так ее подключать даже удобней.
А использовать разделяемую библиотеку лучше, что бы избежать дублирование кода.