Огромное спасибо всем за идеи и отдельно LisandreL за интересный эксперимент.
Буду делать статическую сборку Qt для модуля трея и, возможно, стоит еще поэкспериментировать с опциями конфигурации (QConfig в руки!) и компиляции. Но это все ближе к очередному релизу..