Russian Qt Forum

Добрый день

Попалось на глаза это (https://gamedev.ru/code/forum/?id=121038). Это там где "много спецов" (как говорил незабвенный Витек). Ну отвечающий во всей красе, тут и "а зачем это?" (извлекать угол), и отсылание к книгам (которые самому страшно открыть), в общем мыслишки ни одной, что впрочем ясно сразу по смачному тыканию.

Желание автора темы "докопаться"  выглядит симпатично, но никаких особых усилий не требует.  Мол, "не понимаю, объясните".  Заметим, что когда он (якобы) "уяснил", то не стал вдаваться ни в никакие объяснения (нажрался и отвалил), ах как быстро меняются люди!

Однако сам "метод почемучки" мне нравится, если человек понимает, то он легко ответит на любой вопрос. А то что многие вопросы глупые - нормально. Я вот тоже кватернионы не очень понимаю. Так, на уровне "почитал", т.е. умею "пользоваться ф-циями". А в последнее время они как-то часто встречаются, и я ловлю себя на мысли что переписываю чужой код не очень-то его понимая, что не есть хорошо. Попробую позадавать глупые вопросы, напр

1)
Как это (так лихо) получается? Какой смысл первого умножения и какой второго?

2) На вопросы оригинальнойтемы выше думаю отвечу (они совсем уж глупые), кроме этого (там он растворился в обычном ага/угу)
Я знаю "правельный ответ" (да) но затрудняюсь объяснить

3) Почему везде фигурирует половина угла ? Тут я (смутно) догадываюсь, но хотелось бы четче
   

Выдалась свободная минутка, решил поразбираться. Вращение вектора (v) кватернионом (q) (псевдокод)
Поэтому надо изучать операцию умножения. Вот пишут (https://habr.com/ru/post/255005/)

Ось малюнок (аттач)

Ну в прынцыпе понятно. Хотя где он такую тройку выдрал - хз, ну ладно, имеет право взять любую. Ствло быть, первый кватернион вращает вокруг Z на 90, а второй вокруг X на -90. В итоге вращение на -90 вокруг Y.

Но все равно неясно как же он вращает.
Так нулевой (ничего не вращает). Но если между ними вставить вектор (по сути поворот вокруг оси вектора на 180),
То каким-то чудесным образом на выходе получается повернутый вектор, т.е. он выпадает в осадок как ось произведения. Чего это?

векторное произведение некоммутативно

Я думаю, если вы нарисуете два векторных произведения то чудесным образом окажутся что оно вращает правильно

Так я ничего и не коммутировал :) Для умножения кватернионы представляются как
Т.е. действительная часть и 3 комплексных которые множатся "по Гамильтону", векторное произведение - лишь одна из компонентов рез-та.
Хороший метод (визуализация), но как его в данном случае применить? Нарисовать 2 вектора (множители кватернионы) и (как-то) показать углы? Это ничего не дает. Может чуть лучше рисовать СК, как ее (последовательно) поворачивает каждый кватернион, но все равно неясно как получаются новые ось и угол

Ну вдруг. Кликабельная, интерактивная, трехмерная демонстрашка созданая на редком языке  ::)
https://demonstrations.wolfram.com/QuaternionAdditionAndMultiplication/ (https://demonstrations.wolfram.com/QuaternionAdditionAndMultiplication/)

Ну хорошо, посмотрим что на редких языках. Возьмем простой пример

Есть вектор X (1, 0, 0). Мы хотим повернуть его "на плоскости (XY)" (как в школе) на 30 градусов. Т.е. это поворот вокруг оси Z (0, 0, 1). Должно получиться
Можно это увидеть с помощью рекомендованной демонстрашки? Ну хотя бы кватернион после первого умножения? Потому что я, правду сказать, "ни асилил". Спасибо

Я тоже ниасилил демонстрашку, там сначала надо умножить (0, 0, 1) на (1, 0, 0) а потом результат умножить на inverted видимо (0, 0, -1) ?
Но вбивать числа там дико неудобно и я быстро сломался)

То было бы с нормальным UI. А с таким (надавать бы мокрым веником по жопе) приходится сначала нормировать (руками), а потом уж вводить. Поворот вокруг Z на 30 градусов (нормированный)

axis = (0, 0, 1) * sin(15). scalar = cos(15)

См аттач. Зеленая ось рез-та никаких ассоциаций у меня не вызывает. А вот цифирки интересные (и округлил, гад, до 2 знаков). Выходит первое умножение дает ось на 15 (т.е. вектор повернутый на половину угла ?  Может так совпало (частный случай)  ?

Сорян, мопед не мой...

[offtop] Читал что Гамильтон больше десяти лет бился прежде чем смог запилить кватернионы в их текущем виде [/offtop]

Навалилась куча переделок, и времени совсем нет  :'( Ну ладно, попробуем с др стороны. В изначальной нитке мелькнул интересный пост, вот он
Ну идея понятна - доказать что кватернионные манипуляции сводятся к "заведомо правильной" формуле. Как бы "алгебраическое" доказательство. Это не совсем то что хочется, (нет представления как это происходит в пр-ве), но тоже интересно. Только вот что это за формула
??? Откуда она взялась? Как ее вывести с нуля? И вообще: вот открыл "книгу" (правду сказать, никаких "книг" давно уже нет, есть ссылки), хотел "почитать", а тут такая бяка, хрен поймешь :'(. И шо делать? Заучить наизусть? (у меня никогда не выходило, память ниже средней). Пропустить? Ну так признаемся что наше "почитать" = дешевые понты. Хотелось бы, конечно, "разобраться", но как?

Что предложите ?

Простите а как это вы так лихо записываете кватернион как _сумму_ скаляра и вектора. Кто вообще сказал что так можно и кто сказал что на эту "сумму" распространяются алгебраические операции? От того что вы там написали плюсик не означает что для этой операции выполнены требования и равно что и формула раскрытия скобок работает.

Пришлось смотреть где ж я такое писал :) Наверное имеется ввиду это
Да, официальная теория утверждает что кватернион - это комплексное число, только комплексных компонент 3 (i, j, k). Да, "сложения" одной компоненты с другой нет, т.е. в коде это ничем не выразится. А вот множить можно, по Гамильтону

i * j = k   // подобно векторному произведению
j * k = i   // каждая ось получается из 2 предыдущих
k * i = j   // и произведение не коммутативно (j * i = -k)

// а произведение одной компоненты выпадает в скаляр
i * i = j * j = k * k = i * j * k = -1  

Ну то ладно, пока предлагается разобраться в формуле поворота без всяких комплексных. Хотя бы вот этот фостик

Что сие значит  ???

https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_поворота_Родрига мы эту формулу обсуждали тут N лет назад
официальная теория не может так утверждать, потому что это не правда, строго говоря :) кватернионы напоминают комплексные числа, но это не просто 2 дополнительных компоненты: кватернионы не образуют поле, в отличие от комплексных чисел.

Ну хорошо, убедились что товарищ переписал правильно, формула наверное "та самая". Но как это приблизило нас к ее пониманию? :) Вы "асилили" вывод из вики? Если да - поясните своими словами, спасибо. Если нет - стесняться нечего, тамошние выкладки просто ужасны (и у меня подозрение - умышленно)

Вопрос тот же

Вот это "тыц ссылкой" выглядит как исчерпывающий ответ, мол, "на, читай (темнота), тут все написано !". Но обсудить ссылку "тыцающий" частенько не хочет, и понятно почему - там же полная хрень написана, типа
Чего это "положим"? Откуда я мог знать (или как догадаться) что(?) надо "положить"? Повторять такую фигню "от себя" явно не тянет

Остается удовлетвориться тем что формула - точно правильная, и если ее аккуратно(!) переписать - работать будет. Такой подход втихаря юзают все, и это не заслуживает осуждения, в конце-концов во все вникать - никакой головы не хватит. Однако при плотной работе этого недостаточно, напр
Не, ну если звучит такой вопрос, человек заподозрит подвох и задумается. Однако если возникает по ходу дела - начинает ерзать. Во, блин, повернул на 45, а угол-то получился меньше! Наверное эта формула неправильно вращает. Надо искать другую..

Как же все-таки "разобраться"? Ну смотреть на длинную формулу можно сколь угодно долго но бесполезно - мысли не придут. Нужна какая-то схема/план. В случае с Родригой это легко, см аттач. Черный вектор (P) вращается вокруг синей оси (A). Ключевой момент - вращается лишь зеленая компонента вектора, которая лежит в плоскости вращения. Синяя (проекция на ось вращения) остается на месте. Т.е. если напр-е вектора совладает с осью вращения (точнее "коллинеарно"), то с ним вообще ничего не случится (повернутый = исходному).

Понимая этот простецкий чертежик, мы без труда расправимся с Родригой. Где в формуле синий вектор? По напр-ю он должен совпадать с A (ось), значит кандидат один (о котором я и спрашивал)
A - единичный вектор, остальное скаляр (длина). Разберемся с ней. (A * P) здесь оператор * означает "скалярное произведение", что почему-то нигде не упоминается, нехорошо. Длина синего вектора как раз и есть (A * P) (синий катет в тр-ке с черной гипотенузой)
Так, синий вектор в формуле есть, но... тут же он еще и с каким-то cos(theta), что это? Пусть пока не знаем, НО знаем что оставшаяся часть формулы посвящена вращению зеленой компоненты, присобачим это слагаемое туда
Но P - P_blue = P_green, это наш зеленый вектор. значит поворот зеленого вектора выражается формулой
Дальше попробуйте сами, тут надо понять что делает векторное произведение (A x P) и вспомнить школьную формулу - и все.

Да, мне хотелось бы так же с кватернионами. Ну пока не выходит..

очень хорошо, что вы проделали домашнюю работу :) Хотя достаточно было просто пройти в английскую статью, где всё разжевано намного лучше, да и обозначения на картинках совпадают с формулами. Оттуда можно выйти на еще одну интересную формулу, которая также показывает связь с кватернионами: https://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Rodrigues_formula

у меня с помощью воображения (можно и бумагу с карандашом использовать) получилось так:
1. для удобства повернем СК так, чтоб ось вращения совпадала с одной из осей, например z
2. отрежем координату z от поворачиваемого вектора, получим проекцию на плоскость вращения
3. повернем проекцию на заданный угол
4. вернем координату z из 2 повернутой проекции
5. вернем СК в исходное положение с помощью обратной матрицы из 1

Да, английская статья получше, но также достаточно трудна, и делать вид что, мол, нужно глянуть ссылку - и все дела :) не стоит, это не так.

Про обратную матрицу сами придумали? :) "Повернем СК" - как ??? Что это за операция такая и что у нас для нее есть? (ничего). Лучше сказать что мы "строим СК", т.е. говорим/утверждаем что синий вектор - это ось Z, зеленый - ось X, а третий (на моем чертеже не показан) ось Y = A x P (y = cross(z, x)). При этом важно что длины векторов X и Y одинаковы. Да, можно записать 3 вектора в строки матрицы, но зачем? Ну получим вектора в локальной СК, типа (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z), и что с того?

Интересно как человек, занимающийся "сборкой" и учивший нечто подобное более 10 лет назад, сможет "повернуть проекцию"? Никак, и Вам это прекрасно известно. Ладно, разжуем (хотя где уж мне до великой Вики :))

Есть школьные формулы поворота
Они выводятся по теореме Пифагора, уметь вывести самому желательно.

Из них следуют формулы поворота вектора на плоскости

Поворот в 3D описывается этими же формулами с той лишь разницей что x и у - ортогональные вектора равной длины. Можно сказать что это "поворот СК", оси  x и y вращаются на угол a вокруг неизменной оси z. Можно и вокруг др оси, так часто делают при повороте матрицы, получается чуть шустрее.

Ну и чтобы не скучно было: а что со знаком? Ведь если зеленый вектор - ось X, то в приведенных формулах "минус", а у Родриги "плюс"
Как так?

вы четко демонстрируйте что именно вызывает затруднение, будем разбираться
считайте, что сам :) а что, матрица, обратная к матрице перехода, не вернет вектор в исходную СК?
«повернем» было неправильным термином, «выполним переход». У нас есть вектор, задающий ось вращения, и новый вектор, совпадающий с одной из осей. Единственная непутевая компонента нового вектора будет равна квадрату длины исходного вектора (чтоб длины сохранились), а матрица перехода вычисляется как система уравнений 3х3 (всякие библиотеки, та же Qt, наверняка делают это одним методом). Далее умножаем поворачиваемый вектор на эту матрицу.
мне известно, что человек, которому это необходимо, как минимум откроет букварь и будет искать нужный метод (если не получится, конечно, придется гуглить или рисовать картинки, вспоминая школьную геометрию). Или нас интересует сугубо теоретический результат в виде формулы?
в 3д матрица поворота будет содержать 1 на диагонали для фиксированной координаты. А вектора наверное имелись в виду Х и У из начала поста?
ваши формулы поворота вектора на плоскости вращают по часовой стрелке, а та формула для против. Взяв отрицательный угол получим правильный знак.

Ну давайте через матрицы

Та яка там дача? хатинка! Вот нашли мы 3 вектора X. Y, Z, каждый выражается тройкой чисел в исходной (мировой) СК - и тупо записываем их в строки матрицы. Считаем все оси единичными, длина выносится "за скобки"

X.x  X.y  X.z
Y.x  Y.y  Y.z
Z.x  Z.y  Z.z

Эта матрица переводит из мира в локальную СК что задана 3-мя векторами. Убедимся. Помножим строки матрицы на вектор-столбец X

X_local.x = dot(X, X) = 1  
X_local.y = dot(X, Y) = 0  // оси ортогональны
X_local.z = dot(X, Z) = 0  // оси ортогональны

Правильно, в локальной СК ось X = (1, 0, 0)

Теперь мы повернули вектор (1, 0, 0) на угол "a" в локальной СК. Т.к. z = 0, то это поворот на плоскости XY, используя школьные формулы поворота

X_local' = (cos(a), sin(a), 0)

И переводим этот вектор назад в мир. Для чисто матрицы вращения обратная = транспонированной, значит множим вектор-строку (X_local') на столбцы исходной матрицы

X'.x = X.x * cos(a) + Y.x * sin(a)
X'.y = X.y * cos(a) + Y.y * sin(a)
X'.z = X.z * cos(a) + Y.z * sin(a)

Итого:
X' = X * cos(a) + Y * sin(a)

А это уже то что у Родриги
P_green * cos(theta) + (A x P) * sin(theta)

Др словами, матрица в решении не используется, вместо нее короткая формула (см "итого"). Вот если ее доказывать - выплывут матрицы.  

Не было такого в планах Родрига :)

Ну например почему найденные вектора X и Y имеют равную длину?

|Y| = |Z x P| = |Z| |P| sin(a) = |P| sin(a)
|X| = |P| cos(pi/2 - a) = |P| sin(a)

Комментировать надо (для друзей по Qbs)
Где a = угол между осью вращения и вращаемым вектором P (не путать с углом поворотом theta). Первое ур-е из свойств векторного произведения (это же значение = (двойной) площади тр-ка). Второе - просто "по чертежу", P (черный) гипотенуза, X (зеленый) - противолежащий катет.

Ну ладно, вернемся к кватернионам. Мелькнуло предложение
Ну и что это за интересная формула, в чем ее смысл ? (аттач)

ее смысл в том же, в чем и исходной формулы :) если вопрос в том, как ее вывести, то я не могу ответить.

Вывести - ерунда. Я совсем не горю желанием "публиковаться" :-) но я бы написал так
В варианте Эйлера вектор (P) и угол (theta) представлены "в формате кватерниона", (a, b, c, d) т.е

a = cos(theta/2)            // половина угла вращения
w = P * sin(theta / 2)    // ось, длина = sin половины угла

Второе слагаемое - вектор Y, длина
2 * cos(theta / 2) * sin(theta / 2) = sin(theta)

Ну и третье получится cos(theta). В итоге - та же формула Родриги(а)

Все это понятно, но почему-то все реализации вращения кватернионом (что я видел) не используют эту формулу, вместо нее упорно тулится

P' = Q * P * Q.conjagated()

Вряд ли это "быстрее" чем по Эйлеру, наверное это как бы "более идейно" (ну я так думаю), но уловить эту идею не могу